Question

20．共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點、公交站點、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務區(qū)等提供自行車單車共享服務，是共享經濟的一種新形態(tài)．一個共享單車企業(yè)在某個城市就“一天中一輛單車的平均成本（單位：元）與租用單車的數量（單位：千輛）之間的關系”進行調查研究，在調查過程中進行了統(tǒng)計，得出相關數據見下表：

租用單車數量x（千輛）	2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根據以上數據，研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：$\stackrel{∧}{y}$^（1）=$\frac{4}{x}$+1.1，方程乙：$\stackrel{∧}{y}$^（2）=$\frac{6.4}{{x}^{2}}$+1.6．
（1）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務：
①完成下表（計算結果精確到0.1）（備注：$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$=y_i-$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$，$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$稱為相應于點（x_i，y_i）的殘差（也叫隨機誤差）；

租用單車數量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）		2.4	2.1		1.6
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）		0	-0.1		0.1
模型乙	估計值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）		2.3	2	1.9
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）		0.1	0	0

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q₁及Q₂，并通過比較Q₁，Q₂的大小，判斷哪個模型擬合效果更好．
（2）這個公司在該城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎，共享單車常常供不應求，于是該公司研究是否增加投放．根據市場調查，這個城市投放8千輛時，該公司平均一輛單車一天能收入8.4元；投放1萬輛時，該公司平均一輛單車一天能收入7.6元．問該公司應該投放8千輛還是1萬輛能獲得更多利潤？（按（1）中擬合效果較好的模型計算一天中一輛單車的平均成本，利潤=收入-成本）．

Answer 1

分析 （1）①通過計算填寫表中數據即可；
②計算模型甲、乙的殘差平方，比較即可得出結論；
（2）計算該城市投放共享單車為8千輛和1萬輛時，
該公司一天獲得的總利潤是多少，比較得出結論．

解答 解：（1）①經計算，可得下表（計算結果精確到0.1）；

租用單車數量x（千輛）		2	3	4	5	8
每天一輛車平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估計值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$（1）	3.1	2.4	2.1	1.9	1.6
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（1）	0.1	0	-0.1	0	0.1
模型乙	估計值$\stackrel{∧}{{y}_{i}}$ （2）	3.2	2.3	2	1.9	1.7
	殘差$\stackrel{∧}{{e}_{i}}$（2）	0	0.1	0	0	0

②計算模型甲的殘差平方Q₁=0.1²+（-0.1）²+0.1²=0.03，
模型乙的殘差平方Q₂=0.1²=0.01；
∴Q₁＞Q₂，故模型乙的擬合效果更好；
（2）若該城市投放共享單車為8千輛時，則
該公司一天獲得的總利潤為（8.4-1.7）×8000=53600（元）；
若投放共享單車為1萬輛時，則每輛車的成本為$\frac{6.4}{{10}^{2}}$+1.6=1.664（元），
所以該公司一天獲得的總利潤為（7.6-1.664）×10000=59360（元）；
由59360＞53600，∴投放1萬輛能獲得更多利潤，應該增加到投放1萬輛．

點評 本題考查了殘差平方的計算問題，也考查了利潤函數的計算問題，是中檔題．