Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-2ax²-4x+4a．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的極值．
（2）若f′（-1）=0，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）a=1時(shí)，f′（x）=3x²-4x-4，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極值．
（2）由已知得f′（x）=3x²-4ax-4，由f′（-1）=0，能求出a=

1

4

．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x³-2x²-4x+4．
∴f′（x）=3x²-4x-4，
由f′（x）=0，得x=-

2

3

或x=2，
當(dāng)x∈（-∞，-

3

2

）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（-

3

2

，2）時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴f（x）的增區(qū)間是（-∞，-

2

3

），（2，+∞）；減區(qū)間是（-

2

3

，2），
∴f（x）_極小值=f（2）=-4，f（x）_極大值=f（-

2

3

）=

148

27

．
（2）∵f（x）=x³-2ax²-4x+4a，
∴f′（x）=3x²-4ax-4，
∵f′（-1）=0，
∴f′（-1）=3+4a-4=0，
解得a=

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的極大值和極小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．