Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx（a，b∈R）．
（1）若曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），曲線C在點P處的切線與直線x+2y-14=0垂直，求a，b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個不同的極值點，求證：0＜a+b＜2．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在點P（1，2）處的導(dǎo)數(shù)，由曲線C在點P處的切線與直線x+2y-14=0垂直可得f′（1）=2，再結(jié)合f（1）=2聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）由f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個不同的極值點可得f′（x）=x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個不等的實根．利用三個二次結(jié)合求得a+b的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=

1

3

x³+ax²+bx，得：
f′（x）=x²+2ax+b，
∵直線x+2y-14=0的斜率為-

1

2

，
∴曲線C在點P處的切線的斜率為2．
∴f′（1）=1+2a+b=2  ①
∵曲線C：y=f（x）經(jīng)過點P（1，2），
∴f（1）=

1

3

+a+b=2  ②
聯(lián)立①②得a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）∵f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)存在兩個不同的極值點，
∴f′（x）=x²+2ax+b=0在（1，2）內(nèi)有兩個不等的實根．
∴

△=4(a2-b)＞0 f(1)=1+2a+b＞0 f(2)=4+4a+b＞0 1＜-a＜2

，
解上述不等式組得：-2＜a＜-1且a+b＞-1-a＞0，
則a+b＞0且-2＜a＜-1．
∴a+b＜a²+a=（a+

1

2

）²-

1

4

＜2，
∴a+b＜2．
故0＜a+b＜2．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，訓(xùn)練了利用“三個二次”的結(jié)合分析二次方程根的問題，是中檔題．