已知函數(shù)f（x）=
x+a
x2+1
是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義加以證明．
考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)
專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）利用奇函數(shù)f（0）=0，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，利用作差判斷f（x2）與f（x1）的大小，根據(jù)單調(diào)性的定義可作出判斷．
解答： 解：（1）∵f（x）=
x+a
x2+1
是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f（x）=
x
x2+1
；
（2）f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，證明如下：
任取x1，x2，且1＜x1＜x2，則
f（x2）-f（x1）=
x2
x22+1
-
x1
x12+1
=
(x1-x2)(x1x2-1)
(x22+1)(x12+1)
，
∵1＜x1＜x2，
∴
(x1-x2)(x1x2-1)
(x22+1)(x12+1)
＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類題目的基本方法，要熟練掌握．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：p：y=log（9+2m）x在（0，+∞）上是增函數(shù)，q：方程x2+（m-2）x+1=0有兩個正根，若p與q有且只有一個正確，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a是實數(shù)，函數(shù)f（x）=x3-2ax2-4x+4a．
（1）當a=1時，f（x）的極值．
（2）若f′（-1）=0，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某次計算機考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試，已知每個科目只有一次補考機會，兩個科目均合格方可獲得證書．現(xiàn)某人參加這次考試，已知科目A每次考試成績合格的概率為
4
5
，科目B每次考試成績合格的概率為
3
4
，假設(shè)每次考試合格與否均互不影響．
（1）求他需要參加3次考試才能獲得證書的概率；
（2）在這次考試中，假設(shè)他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F(xiàn)分別為BC，PC，AB的中點．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）在棱PA上是否存在一點G，使得FG∥平面ADE？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)
a
=（cosx，
1
2
），
b
=（
3
sinx，cos2x），x∈R，設(shè)函數(shù)f（x）=
a
•
b
-
1
2

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）當x∈（0，
2π
3
）時，求f（x）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x2，x≤0
-x，x＞0
．
（1）畫出f（x）的圖象；
（2）根據(jù)圖象寫出f（x）的單調(diào)性（不用證明）；
（3）利用（2）的結(jié)論解不等式f（x2-4）＞f（3x）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=x2，g（x）=（
1
2
）x-m，若對任意x∈[0，2]，恒有f（x）≥g（x），則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+px+q在x=1處取得極小值4，則p+q=
 
．

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