Question

6．對(duì)?α∈R，n∈[0，2]，向量$\overrightarrow{c}$=（2n+3cosα，n-3sinα）的長度不超過6的概率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{10}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{10}$
• C． $\frac{3\sqrt{5}}{10}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量長度的關(guān)系，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：若向量$\overrightarrow{c}$=（2n+3cosα，n-3sinα）的長度不超過6，
即|$\overrightarrow{c}$|≤6，
即（2n+3cosα）²+（n-3sinα）²≤36，
整理得5n²+6n（2cosα-sinα）≤27，
即6$\sqrt{5}$ncos（α+θ）≤27-5n²，
即當(dāng)n=0時(shí)，不等式成立，
當(dāng)n≠0時(shí)，不等式等價(jià)cos（α+θ）≤$\frac{27-5{n}^{2}}{6\sqrt{5}n}$，
要使cos（α+θ）≤$\frac{27-5{n}^{2}}{6\sqrt{5}n}$恒成立，則1≤$\frac{27-5{n}^{2}}{6\sqrt{5}n}$，
即5n²+6$\sqrt{5}$n-27≤0，
得$\frac{-9\sqrt{5}}{5}$≤n≤$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵n∈[0，2]，
∴0＜n≤$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
綜上0≤n≤$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
則對(duì)應(yīng)的概率P=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}-0}{2-0}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率的計(jì)算，根據(jù)向量長度的關(guān)系，求出n的取值范圍，利用三角函數(shù)的有界性和輔助角公式進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．