Question

3．有兩直線ax-2y-2a+4=0和2x-（1-a²）y-2-2a²=0，當a在區(qū)間（0，2）內變化時，求直線與兩坐標軸圍成的四邊形面積的最小值．

Answer 1

分析 利用直線方程，求出相關點的坐標，利用直線系解得y_E=2．根據S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB即可得出．

解答 解：∵0＜a＜2，
可得l₁：ax-2y=2a-4，與坐標軸的交點A（0，-a+2），B（2-$\frac{4}{a}$，0）．
l₂：2x-（1-a²）y-2-2a²=0，與坐標軸的交點C（a²+1，0），D（0，$\frac{-2-2{a}^{2}}{1-{a}^{2}}$）．
兩直線ax-2y-2a+4=0和2x-（1-a²）y-2-2a²=0，都經過定點（2，2），即y_E=2．
∴S_{四邊形OCEA}=S_△BCE-S_△OAB
=$\frac{1}{2}$|BC|•y_E-$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|
=$\frac{1}{2}$（a²+$\frac{4}{a}$-1）×2-$\frac{1}{2}$（2-a）×（$\frac{4}{a}$-2）
=a²-a+3
=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{11}{4}$≥$\frac{11}{4}$，當a=$\frac{1}{2}$時取等號．
∴l(xiāng)₁，l₂與坐標軸圍成的四邊形面積的最小值為$\frac{11}{4}$．

點評 本題考查了相交直線、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．