Question

13．某校把一塊形狀為正三角形的邊角地ABC開辟為生態(tài)園，如圖所示，其中AB=2a，DE把三角形分成面積相等的兩個(gè)部分，D在線段AB上，E在線段AC上．
（1）設(shè)AD=x，ED=y，求用x表示y的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（2）如果DE是灌溉水渠的位置，為了省錢希望它最短，那么DE的位置應(yīng)該在哪里，如果DE是參觀路線，卻希望它最長，那么DE的位置又應(yīng)該在哪里？

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC求得x和AE的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)余弦定理把x和AE的關(guān)系代入求得x和y的關(guān)系．
（2）根據(jù)均值不等式求得y的最小值，求得等號成立時(shí)的x的值，判斷出DE∥BC，且DE=$\sqrt{2}$a．進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)其單調(diào)性求得函數(shù)的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)镈E均分三角形ABC的面積，
所以xAE=$\frac{1}{2}•（2a）^{2}$，即AE=$\frac{2{a}^{2}}{x}$．
在△ADE中，由余弦定理得y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$．
因?yàn)?≤AD≤2a，0≤AE≤2a，所以a≤x≤2a．
故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4{a}^{4}}{{x}^{2}}-2{a}^{2}}$（a≤x≤2a）．
（2）令t=x²，則a²≤t≤4a²，且y=$\sqrt{t+\frac{4{a}^{4}}{t}-2{a}^{2}}$．
設(shè)f（t）=t+$\frac{4{a}^{4}}{t}$（t∈[a²，4a²]）．
若a²≤t₁＜t₂≤2a²，則f（t₁）-f（t₂）=$\frac{（{t}_{1}-{t}_{2}）（{t}_{1}{t}_{2}-4{a}^{4}）}{{t}_{1}{t}_{2}}$＞0
所以f（t）在[a²，2a²]上是減函數(shù)．同理可得f（t）在[2a²，4a²]上是增函數(shù)．
于是當(dāng)t=2a²即x=$\sqrt{2}$a時(shí)，y_min=$\sqrt{2}$a，此時(shí)DE∥BC，且AD=$\sqrt{2}$a．
當(dāng)t=a²或t=4a²即x=a或2a時(shí)，y_max=$\sqrt{3}$a，此時(shí)DE為AB或AC上的中線．
故當(dāng)取AD=$\sqrt{2}$a且DE∥BC時(shí)，DE最短；當(dāng)D與B重合且E為AC中點(diǎn)，或E與C重合且D為AB中點(diǎn)時(shí)，DE最長

點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式，以及函數(shù)的單調(diào)型求最值，考查了學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，屬于綜合題．