Question

3．求由正整數(shù)組成的集合S，使S中元素之和等于元素之積．

Answer 1

分析 若集合中只有一個(gè)元素顯然成立；若S不是單元素集，經(jīng)過推理可得，僅S={1，2，3}滿足條件．

解答 解：若集合中只有一個(gè)元素顯然成立．
若集合中有兩個(gè)元素，設(shè)為a，b，則ab=a+b，即（a-1）（b-1）=1，解得a=b=2，這與a≠b矛盾，所以集合中至少三個(gè)元素．
設(shè)三個(gè)元素為a，b，c，且a＜b＜c，
若a≠1，則c＞3，則a+b+c＜abc，故a=1，
則1+b+c=bc，
若b≠2，則b≥3，1+b+c≤2c，bc＞2c，故b=2，
則3+c=2c，解得c=3，
故S={1，2，3}，
同理不存在元素大于3個(gè)的集合S滿足條件．

點(diǎn)評 本題以集合為載體考查的知識點(diǎn)是邏輯推理，難度比較大，屬于中檔題．