Question

12．如圖所示，某鎮(zhèn)有一塊空地△OAB，其中OA=3km，OB=3$\sqrt{3}$km，∠AOB=90°．當?shù)劓?zhèn)政府規(guī)劃將這塊空地改造成一個旅游景點，擬在中間挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊A，B上，且∠MON=30°，挖出的泥土堆放在△OAM地帶上形成假山，剩下的△OBN地帶開設(shè)兒童游樂場．為安全起見，需在△OAN的一周安裝防護網(wǎng)．
（1）當AM=$\frac{3}{2}$km時，求防護網(wǎng)的總長度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的$\sqrt{3}$倍，試確定∠AOM的大小；
（3）為節(jié)省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小，問如何設(shè)計施工方案，可使△OMN 的面積最小？最小面積是多少？

Answer 1

分析 （1）證明△OAN為正三角形，可得△OAN的周長為9，即防護網(wǎng)的總長度為9km；
（2）利用△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的$\sqrt{3}$倍，建立方程，求出ON=6$\sqrt{3}$sinθ，由$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{cosθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，即可求出∠AOM的大�。�
（3）表示出△OMN 的面積，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在△OAB中，因為OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°，
在△AOM中，OA=3，AM=$\frac{3}{2}$，∠OAM=60°，
由余弦定理，得OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，…（2分）
所以O(shè)M²+AM²=OA²，即OM⊥AN，所以∠AOM=30°，
所以△OAN為正三角形，所以△OAN的周長為9，即防護網(wǎng)的總長度為9km．…（4分）
（2）設(shè)∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），
因為△OMN的面積是堆假山用地△OAM的面積的$\sqrt{3}$倍，
所以$\frac{1}{2}ON•OM$sin30°=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$OA•OMsinθ，即ON=6$\sqrt{3}$sinθ，…（6分）
在△OAN中，由$\frac{ON}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°+30°）}$=$\frac{3}{cosθ}$，得ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，…（8分）
從而6$\sqrt{3}$sinθ=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，即sin2θ=$\frac{1}{2}$，
由0°＜2θ＜120°，
得2θ=30°，所以θ=15°，即∠AOM=15°．…（10分）
（3）設(shè)∠AOM=θ（0°＜θ＜60°），由（2）知ON=$\frac{3\sqrt{3}}{2cosθ}$，
又在△AOM中，由$\frac{OM}{sin60°}$=$\frac{OA}{sin（θ+60°）}$，得OM=$\frac{3\sqrt{3}}{2sin（θ+60°）}$，…（12分）
所以S_△OMN=$\frac{1}{2}OM•ON•sin30°$=$\frac{27}{16sin（θ+60°）cosθ}$=$\frac{27}{8sin（2θ+60°）+4\sqrt{3}}$，…（14分）
所以當且僅當2θ+60°=90°，即θ=15°時，△OMN的面積取最小值為$\frac{27（2-\sqrt{3}）}{4}$km²．…（16分）

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決三角形問題，考查余弦定理、正弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．