Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t為參數(shù)）}\right.$．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）若P（x，y）為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離d的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$，利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t為參數(shù)）}\right.$．消去參數(shù)t可得：直線l的直角坐標(biāo)方程，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得極坐標(biāo)方程．
（2）設(shè)P（2cosα，sinα），直線l為4x-3y+12=0，利用點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}}\right.（α為參數(shù)）$，利用cos²α+sin²α=1可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
由直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}t}\\{y=4+\frac{4}{5}t}\end{array}（t為參數(shù)）}\right.$．消去參數(shù)t可得：直線l的直角坐標(biāo)方程為4x-3y+12=0，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得：極坐標(biāo)方程為4ρcosθ-3ρsinθ+12=0．
（2）設(shè)P（2cosα，sinα），直線l為4x-3y+12=0，
則$d=\frac{{|{8cosα-3sinα+12}|}}{5}=\frac{{|{\sqrt{73}cos（α+?）+12}|}}{5}$，
∴最大值為$\frac{{12+\sqrt{73}}}{5}$，最小值為$\frac{{12-\sqrt{73}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化、橢圓的參數(shù)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．