Question

9．如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與△ABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）證明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半徑，且AE=MN=2$\sqrt{3}$，求四邊形EBCF的面積．

Answer 1

分析 （1）通過AD是∠CAB的角平分線及圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，利用相似的性質(zhì)即得結(jié)論；
（2）通過（1）知AD是EF的垂直平分線，連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，利用S_△ABC-S_△AEF計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵△ABC為等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的角平分線，
又∵圓O分別與AB、AC相切于點(diǎn)E、F，
∴AE=AF，∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分線，
又∵EF為圓O的弦，∴O在AD上，
連結(jié)OE、OM，則OE⊥AE，
由AG等于圓O的半徑可得AO=2OE，
∴∠OAE=30°，∴△ABC與△AEF都是等邊三角形，
∵AE=2$\sqrt{3}$，∴AO=4，OE=2，
∵OM=OE=2，DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，∴OD=1，
∴AD=5，AB=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形EBCF的面積為$\frac{1}{2}×$$（\frac{10\sqrt{3}}{3}）^{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$（2\sqrt{3}）^{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查空間中線與線之間的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，注意解題方法的積累，屬于中檔題．