Question

20．已知A（1，-1），B（-1，1），在直線x-y-1=0上找一點P，使得||PA|-|PB||最大．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出O（0，0）是A（1，-1）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點，A（1，-1），B（-1，1）關(guān)于原點O對稱，當直線AB與直線x-y-1=0相交時，交點P使得||PA|-|PB||最大，P（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）使得||PA|-|PB||最大．

解答 解：設(shè)A（1，-1）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點為C（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}-\frac{b-1}{2}-1=0}\\{\frac{b+1}{a-1}=-1}\end{array}\right.$，解得a=0，b=0，
∴C與原點O重合，即O（0，0）是A（1，-1）關(guān)于直線x-y-1=0的對稱點，
∵A（1，-1），B（-1，1）關(guān)于原點O對稱，如圖，
∴當直線AB與直線x-y-1=0時，交點P使得||PA|-|PB||最大，
直線AB的方程為：$\frac{y-1}{x+1}=\frac{-1-1}{1+1}$，即x+y=0．
聯(lián)立${\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.}_{\;}^{\;}$，解得x=$\frac{1}{2}$，y=-$\frac{1}{2}$，
∴P（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）使得||PA|-|PB||最大．

點評 本題考查使兩線段之差的絕對值最大的點的確定，是中檔題，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用．