Question

10．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=a×3^x+3^-x，a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）用單調(diào)性定義證明f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）解不等式f（x-1）+f（2x+3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0解出a；
（2）設(shè)x₁＞x₂≥0，計算f（x₁）-f（x₂）并化簡，只需證明f（x₁）-f（x₂）＜0即可；
（3）利用單調(diào)性和奇偶性得出f（2x+3）＜f（1-x），等價于2x+3＞1-x，解出x．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即a+1=0，解得a=-1．
（2）f（x）=-3^x+3^-x，
設(shè)x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$+3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$，
∵x₁＞x₂≥0，∴-x₁＜-x₂，
∴3${\;}^{{x}_{2}}$＜3${\;}^{{x}_{1}}$，3${\;}^{-{x}_{1}}$＜3${\;}^{-{x}_{2}}$，即3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$＜0，3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=3${\;}^{{x}_{2}}$-3${\;}^{{x}_{1}}$+3${\;}^{-{x}_{1}}$-3${\;}^{-{x}_{2}}$＜0，
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）∵f（x）是奇函數(shù)且在[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在R上是減函數(shù)．
∵f（x-1）+f（2x+3）＜0．
∴f（2x+3）＜-f（x-1）=f（1-x），
∴2x+3＞1-x，
解得x＞$-\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．