Question

20．已知0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，tan$β=\frac{4}{3}$，則tanα=$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tan（α-β）的值，再利用兩角和差的正切公式求得tanα的值．

解答 解：∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，∴cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，α-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{3}{4}$，即 $\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{tanα-\frac{4}{3}}{1+tanα×\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
求得tanα=$\frac{7}{24}$．
故答案為：$\frac{7}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．