Question

4．定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=2f（x），當x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{-{（\frac{1}{2}）}^{|x-\frac{3}{2}|}，x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-4，2）時，f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（　　）

• A． [-2，0）∪（0，1）
• B． [-2，0）∪[1，+∞）
• C． [-2，1]
• D． （-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

分析 令-4≤x＜-2，則0≤x+4＜2，由f（x+2）=2f（x），求出f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），畫出y=f（x）和y=$\frac{1}{4}$f（x+4）的圖象，求出最小值，將x∈[-4，2）時，f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，轉(zhuǎn)化為x∈[-4，2），f（x）_min≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$，解出不等式即可求出實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：令-4≤x＜-2，則0≤x+4＜2，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
即f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
畫出y=f（x）和y=$\frac{1}{4}$f（x+4）的圖象，
當x=1.5時，f（x+4）取最小值-1，
由x∈[-4，2），f（x）≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$恒成立，
則-$\frac{1}{4}$≥$\frac{t}{4}$-$\frac{1}{2t}$，解得t≤-2或0＜t≤1．
故選：D．

點評 本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，考查函數(shù)的最值及運用，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值，考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于中檔題．