Question

6．在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，Tn為其前n項(xiàng)之積，則T_n，T_2n，T_3n有什么樣的關(guān)系？請(qǐng)給出證明．

Answer 1

分析 T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式能進(jìn)行證明．

解答 解：在等比數(shù)列{a_n}中，公比為q，T_n為其前n項(xiàng)之積，則T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³．
證明如下：
T_3n=${a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{3n-1}$=${{a}_{1}}^{3}{q}^{1+2+…+3n-1}$=（${{a}_{1}}^{n}$${q}^{\frac{n（3n-1）}{2}}$）³，
$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{2n-1}}{{a}_{1}×{a}_{1}q×{a}_{1}{q}^{2}×…×{a}_{1}{q}^{n-1}}$=${{a}_{1}}^{n}$${q}^{\frac{n（3n-1）}{2}}$，
∴T_3n=（$\frac{{T}_{2n}}{{T}_{n}}$）³．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)之積、前2n項(xiàng)之積、前3n項(xiàng)之積的相互關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．