Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，E為AB的中點(diǎn)，AB=8，AD=DC=4，∠PAD=60°．
（1）求證：DE∥面PBC；
（2）求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接DE，先通過證明四邊形DCBE為平行四邊形，證明出DE∥BC，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明出DE∥面PBC．
（2）先求出三角形BEC的面積，進(jìn)而證明出PD為三棱錐的高，求得PD，最后體積可求得．

解答： （1）證明：連接DE

∵E為AB的中點(diǎn)，AB∥CD，DC= 1 2 AB ∴DC ∥ . . BE ∴四邊形DCBE是平行四邊形 ∴DE∥BC 又∵BC?平面PBC，DE?平面PBC ∴DE∥平面PBC

解：（2）

由DC=AD=4，AB⊥CD 可知S△BEC=8

由PD⊥平面ABCD 可知PD為三棱錐P-BCE的高 由∠PAD=60°可得PD=4tan60°= 4 3 3 所以∨E-PBC=∨P-BEC= 1 3 SBEC•PD= 32 3 9

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，三棱錐的體積計算．考查了學(xué)生空間觀察和分析的能力．