Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是AD，DD₁的中點，AB=BC=2，過A₁，C₁，B三點的平面截去長方體的一個角后．得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為

40

3

．
（1）求證：EF∥平面A₁B₁C₁；
（2）求A₁A的長；
（3）在線段BC₁上是否存在點P，使直線A₁P與C₁D垂直，如果存在，求線段A₁P的長，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）法一：連接D₁C，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，可證四邊形A₁BCD₁是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
法二：根據(jù)長方體的幾何特征由平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．證得A₁B∥平面CDD₁C₁．
（2）設A₁A=h，已知幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，利用等體積法VABCD-A₁C₁D₁=VABCD-A₁B₁C₁D₁-VB-A₁B₁C₁，進行求解．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，過Q作QP∥CB交BC₁于點P，推出A₁P⊥C₁D，證明A₁P⊥C₁D，推出△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，再求求線段A₁P的長．

解答： 證明：（1）證法一：如圖，連接D₁C，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴A₁D₁∥BC且A₁D₁=BC．
∴四邊形A₁BCD₁是平行四邊形．
∴A₁B∥D₁C．
∵A₁B?平面CDD₁C₁，D₁C?平面CDD₁C₁，
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
證法二：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，
∴平面A₁AB∥平面CDD₁C₁．
∵A₁B?平面A₁AB，A₁B?平面CDD₁C₁．
∴A₁B∥平面CDD₁C₁．
解：（2）設A₁A=h，∵幾何體ABCD-A₁C₁D₁的體積為

40

3

，
∴V_ABCD-A1C1D1=V_{ABCD-A1B1C1D1}-V_B-A1B1C1=

40

3

，
即S_ABCD×h-

1

3

×S△A₁B₁C₁×h=

40

3

，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=

40

3

，解得h=4．
∴A₁A的長為4．
（3）在平面CC₁D₁D中作D₁Q⊥C₁D交CC₁于Q，
過Q作QP∥CB交BC₁于點P，則A₁P⊥C₁D．（7分）
因為A₁D₁⊥平面CC₁D₁D，C₁D?平面CC₁D₁D，
∴C₁D⊥A₁D₁，而QP∥CB，CB∥A₁D₁，
∴QP∥A₁D₁，
又∵A₁D₁∩D₁Q=D₁，
∴C₁D⊥平面A₁PQC₁，
且A₁P?平面A₁PQC₁，
∴A₁P⊥C₁D．（10分）
∵△D₁C₁Q∽Rt△C₁CD，
∴

C1Q

CD

=

D1C1

C1C

，
∴C₁Q=1
又∵PQ∥BC，
∴PQ=

1

4

BC=

1

2

．
∵四邊形A₁PQD₁為直角梯形，且高D₁Q=

5

，
∴A₁P=

(2- 1 2 )2+5

=

29

2

點評：本題考查的知識點是線面平行，組合幾何體的面積、體積問題，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．