Question

3．已知點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$），動(dòng)點(diǎn)P在直線l₁：y=-$\frac{1}{4}$上，線段PF的垂直平分線與直線l₁的過(guò)點(diǎn)P的垂線交于點(diǎn)M．
（1）求M點(diǎn)軌跡C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)E（a，-2）（a＞0）作軌跡C的切線，切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且以點(diǎn)E為圓心的圓E與直線AB相切，問(wèn)圓E的半徑是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意，M到F的距離等于直線l₁的距離，可得M點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$）為焦點(diǎn)，直線l₁：y=-$\frac{1}{4}$為準(zhǔn)線的拋物線，即可求M點(diǎn)軌跡C的方程；
（2）求出y=x²的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)直線EA與曲線C相切，利用斜率相等，推出x₁，x₂為方程x²-2ax-2=0兩個(gè)根，可得2a，x₁•x₂=-2，求出AB的斜率，AB的方程，利用點(diǎn)E到直線AB的距離即為圓E的半徑，求出r的表達(dá)式，利用換元法與基本不等式，求出r的最小值．

解答 解：（1）由題意，M到F的距離等于直線l₁的距離，
∴M點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4}$）為焦點(diǎn)，直線l₁：y=-$\frac{1}{4}$為準(zhǔn)線的拋物線，
∴M點(diǎn)軌跡C的方程為x²=y；
（2）由y=x²可得，y′=2x．∵直線EA與曲線C相切，且過(guò)點(diǎn)E（a，-2），
∴$2{x}_{1}=\frac{{{x}_{1}}^{2}+2}{{x}_{1}-a}$，即x₁²-2ax₁-2=0，同理x₂²-2ax₂-2=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2ax-2=0兩個(gè)根，
因此x₁+x₂=2a，x₁•x₂=-2，
則直線AB的斜率k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂=2a．
∴直線AB的方程為：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），
又y₁=x₁²，∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2ax-y+2=0．
∵點(diǎn)E到直線AB的距離即為圓E的半徑，即r=$\frac{|2{a}^{2}+4|}{\sqrt{4{a}^{2}+1}}$，
設(shè)4a²+1=t，t≥1，則r²=$\frac{\frac{（t+7）^{2}}{4}}{t}$=$\frac{1}{4}$×（t+$\frac{49}{t}$+14）≥7，
當(dāng)且僅當(dāng)t=7時(shí)，等號(hào)成立，即圓E的半徑最小值為$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查拋物線的定義與方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想，換元法．