Question

8．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA=SD，∠BAD=60°，AB=2，SE=$\sqrt{3}$，SC=$\sqrt{10}$，E是AD中點(diǎn)，SF=2FC．
（1）求證：AD⊥平面SBE；
（2）求三棱錐F-BEC的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，利用菱形與等邊三角形的性質(zhì)可得：BE⊥AD．再利用等腰三角形的性質(zhì)可得：SE⊥AD．利用線面垂直的判定定理即可證明：AD⊥平面SBE．
（2）在△CED中，由余弦定理可得：CE²=7，又SE=$\sqrt{3}$，SC=$\sqrt{10}$，利用勾股定理的逆定理可得：SE⊥EC，從而證明SE⊥平面ABCD．由SF=2FC．可得V_F-BEC=$\frac{1}{3}{V}_{S-BEC}$，即可得出．

解答 （1）證明：連接BD，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵E是AD中點(diǎn)，
∴BE⊥AD．
∵SA=SD，E是AD中點(diǎn)，
∴SE⊥AD．又SE∩BE=E，
∴AD⊥平面SBE；
（2）在△CED中，由余弦定理可得：CE²=ED²+CD²-2ED•CD•cos∠CDE=1²+2²-2×1×2cos120°=7，
又SE=$\sqrt{3}$，SC=$\sqrt{10}$，
∴SE²+CE²=SC²，
∴SE⊥EC，又AD∩EC=E，
∴SE⊥平面ABCD．S_△BEC=$\frac{1}{2}BC•BE$$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵SF=2FC．
∴V_F-BEC=$\frac{1}{3}{V}_{S-BEC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}SE•{S}_{△BEC}$=$\frac{1}{9}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．