Question

2．已知x＞0，對(duì)于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 x＞0，對(duì)于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵x＞0，對(duì)于任意x有$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立?$a≥（\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}）_{max}$，
∵x＞0，∴$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$$≤\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}+3}$=$\frac{1}{5}$．當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
∴$a≥\frac{1}{5}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$[\frac{1}{5}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．