Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓外切，且圓與直線相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．

(1)求曲線的軌跡方程；

(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線交于兩點(diǎn)，試問(wèn)：在曲線上是否存在點(diǎn)（與兩點(diǎn)相異），當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)，圓的半徑為，由動(dòng)圓與圓外切，可得，又動(dòng)圓與直線相切，所以，兩式結(jié)合消去即可得結(jié)果；（2）設(shè)出的坐標(biāo)，

直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理、斜率公式可得，,化為，由可得結(jié)果.

（1）設(shè)P（x，y），圓P的半徑為r，

因?yàn)閯?dòng)圓P與圓Q：（x－2）2＋y2＝1外切，

所以，①

又動(dòng)圓P與直線x＝－1相切，所以r＝x＋1，②

由①②消去r得y2＝8x，

所以曲線C的軌跡方程為y2＝8x．

（2）假設(shè)存在曲線C上的點(diǎn)M滿足題設(shè)條件，不妨設(shè)M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

則，，，

，，

所以，③

顯然動(dòng)直線l的斜率存在且非零，設(shè)l：x＝ty－2，

聯(lián)立方程組，消去x得y2－8ty＋16＝0，

由Δ＞0得t＞1或t＜－1，

所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，

代入③式得，令（m為常數(shù)），

整理得，④

因?yàn)棰苁綄?duì)任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，

所以，

所以或，即M（2，4）或M（2，－4），

即存在曲線C上的點(diǎn)M（2，4）或M（2，－4）滿足題意．