Question

7．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（c，0），直線x=a與雙曲線C的漸近線在第一象限的交點為A，O為坐標(biāo)原．若△OAF的面積為$\frac{1}{3}$a²，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 利用△OAF的面積為$\frac{1}{3}$a²，建立方程，即可求出雙曲線C的離心率．

解答 解：由題意，A（a，b），
∵△OAF的面積為$\frac{1}{3}$a²，
∴$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{3}$a²，
∴2c²-3bc-2b²=0，
∴c=2b或c=-$\frac{1}{2}$b（舍去），
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．