Question

8．已知直線${l_1}：\sqrt{3}x+y-1=0，{l_2}：ax+y=1$，且l₁⊥l₂，則l₁的傾斜角為$\frac{2π}{3}$，原點到l₂的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 求出直線l₁的斜率，根據斜率得出傾斜角；根據垂直關系求出a的值，再計算原點O到l₂的距離．

解答 解：直線l₁：$\sqrt{3}$x+y-1=0可化為y=-$\sqrt{3}$x+1，
其斜率為k=tanα=-$\sqrt{3}$，且α∈[0，π），
∴α=$\frac{2π}{3}$，
即l₁的傾斜角為$\frac{2π}{3}$；
又l₂：ax+y=1，且l₁⊥l₂，
∴$\sqrt{3}$×a+1×1=0，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴原點O（0，0）到l₂的距離為：
d=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{{（-\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}{+1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了直線的斜率與傾斜角以及垂直和點到直線的距離應用問題，是基礎題目．