Question

11．已知函數(shù)f（x）=asinx+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\sqrt{3}$，-1]
• B． [-1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． [$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 先看a=0時，已知條件不成立，再看a≠0時，利用輔角公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求得φ的范圍，則a的范圍可求．

解答 解：①當a=0時，函數(shù)f（x）=asinx+cosx在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞減，結(jié)論不成立．
②當a≠0時，f（x）=asinx+cosx=$\sqrt{{a}^{2}+1}$•sin（x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{a}$，
要使函數(shù)單調(diào)增需-$\frac{π}{2}$≤x+φ≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{2}$-φ≤x≤$\frac{π}{2}$-φ．
∵函數(shù)f（x）在在[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{3}$]上單調(diào)遞增，
∴$\frac{π}{2}$-φ≥$\frac{π}{3}$，且-$\frac{π}{2}$-φ≤-$\frac{π}{4}$．
求得-$\frac{π}{4}$≤φ≤$\frac{π}{6}$，
∴-1≤tanφ≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即-1≤$\frac{1}{a}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a≤-1，或a≥$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)的單調(diào)性，輔角公式的運用．解題的關鍵是求得φ的范圍，屬于中檔題．