Question

3．如圖，強(qiáng)度分別為8，1的兩個光源A，B間的距離為3，點(diǎn)P在連接兩光源的線段AB上，且距離光源A為x．
（1）求點(diǎn)P受光源A，B的總照度與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn)P在何處時，受光源A，B的總照度最��；
（注：照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比）

Answer 1

分析 （1）由已知可得：PA=x，PB=3-x，設(shè)點(diǎn)P受光源A，B的總照度為f（x），根據(jù)兩個光源A，B的強(qiáng)度分別為8，1照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源距離的平方成反比，可得點(diǎn)P受光源A，B的總照度與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P在連接兩光源的線段AB上，且距離光源A為x．
∴PA=x，PB=3-x，
設(shè)點(diǎn)P受光源A，B的總照度為f（x），
則f（x）=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，x∈（0，3）；
（2）由（1）得f（x）=$\frac{8k}{{x}^{2}}+\frac{k}{（3-x）^{2}}$，x∈（0，3），
∴f′（x）=$\frac{-16k}{{x}^{3}}$+$\frac{2k}{{（3-x）}^{3}}$=$\frac{18k（x-2）[（x-3）^{2}+3]}{{x}^{3}{（3-x）}^{3}}$，
當(dāng)x∈（0，2）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，3）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
故當(dāng)x=2時，f（x）取最小值，
即點(diǎn)P距離光源A的距離為2時，受光源A，B的總照度最小；

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值時的應(yīng)用，最值及其幾何意義，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．