Question

17．某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為$\frac{80π}{3}$立方米，且l≥2r．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c（c＞5）千元．設(shè)該容器的建造費用為y千元．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓柱和球的體積的表達式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍．
（Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進行分類討論．

解答 解：（Ⅰ）由體積V=$\frac{4}{3}\\;π{r}^{3}+π{r}^{2}l$πr³+πr²l=$\frac{80π}{3}$，解得l=$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$，
∴y=2πrl×3+4πr²×c=6πr×$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$+4cπr²
=2π•$\frac{80+（2c-4）{r}^{3}}{r}$，
又l≥2r，即$\frac{80-4{r}^{3}}{3{r}^{2}}$≥2r，解得0＜r≤2
∴其定義域為（0，2]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，y′=8π（c-2）r-$\frac{160π}{{r}^{2}}$，
=$\frac{8π（c-2）}{{r}^{2}}$（r³-$\frac{20}{c-2}$），0＜r≤2
由于c＞5，所以c-2＞0
當r³-$\frac{20}{c-2}$=0時，則r=$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$
令$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$=m，（m＞0）
所以y′=$\frac{8π（c-2）}{{r}^{2}}$（r-m）（r²+rm+m²）
①當0＜m＜2即c＞$\frac{9}{2}$時，
當r=m時，y′=0
當r∈（0，m）時，y′＜0
當r∈（m，2）時，y′＞0
所以r=m是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點．
②當m≥2即3＜c≤$\frac{9}{2}$時，
當r∈（0，2）時，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以r=2是函數(shù)y的最小值點．
綜上所述，當3＜c≤$\frac{9}{2}$時，建造費用最小時r=2；
當c＞$\frac{9}{2}$時，建造費用最小時r=$\root{3}{\frac{20}{c-2}}$．

點評 利用導(dǎo)數(shù)的知識研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值問題是高考經(jīng)常考查的知識點，同時分類討論的思想也蘊含在其中．