Question

2．已知tanα、tanβ為是于x的方程x²+px+q=0的兩根，則sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）的值為q．

Answer 1

分析 因為tanα，tanβ是方程x²+px+q=0的兩根，所以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用兩角和正切函數(shù)公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$后得到關(guān)于tan（α+β）的關(guān)系式，把tan（α+β）的值代入即可求出值．

解答 解：（1）由韋達達定理知$\left\{\begin{array}{l}{tanα+tanβ=-p}\\{tanα•tanβ=q}\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{p}{1-q}$，
∴sin²（α+β）+psin（α+β）cos（α+β）+qcos²（α+β）
cos²（α+β）[tan²（α+β）+ptan（α+β）+q]
=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+ptan（α+β）+q]
=$\frac{1}{1+\frac{{p}^{2}}{（q-1）^{2}}}$[$\frac{{p}^{2}}{（q-1）^{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{q-1}$+q]
=$\frac{q（1+{p}^{2}+{q}^{2}-2q）}{1+{p}^{2}+{q}^{2}-2q}$
=q．
故答案為：q．

點評 考查學(xué)生靈活運用兩角和與差的正切函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，靈活運用韋達定理解決數(shù)學(xué)問題，屬于中檔題．