Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a．
（1）若對任意的x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個極值點分別為x₁，x₂，求g（a）=x₁³+x₂³+a³的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)，再根據(jù)x的取值范圍，求得a的范圍，
（2）x₁，x₂是x²+（a-3）x+a²-3a=0的兩個根，利用立方和公式化簡g（a）=3a³-9a²+27，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出g（a）的最值，繼而得到最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

3

x³+

a-3

2

x²+（a²-3a）x-2a．
∴f′（x）=x²+（a-3）x+a²-3a．
∵f′（x）＞a²恒成立，
∴x²+（a-3）x-3a＞0，在x∈[1，2]時恒成立，
即（x-3）a+x²-3x＞0，在x∈[1，2]時恒成立，
∵x-3＜0，
∴a＜

x2-3x

3-x

=-x，
又-x∈[-2，-1]，
∴a＜-2，
故a的取值范圍是（-∞，-2）
（2）∵x₁，x₂是x²+（a-3）x+a²-3a=0的兩個根，
又△＞0，得a∈（-1，3）且x₁+x₂=3-a，x₁•x₂=a²-3a，
∴g（a）=x₁³+x₂³+a³=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁•x₂）+a³=3a³-9a²+27，
∴g′（a）=9a²-18a=9a（a-2）
當(dāng)a∈（2，3）時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，
當(dāng)a∈（0，2）時，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減，
當(dāng)a∈（-1，0）時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，
而g（2）=15，g（-1）=15，
∴g（a）在（-1，3）上的最小值為15．

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值得關(guān)系，以及恒成立的問題，屬于中檔題．