Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{alnx+b}{{e}^{x}}$（e是自然對數(shù)的底數(shù)，其中常數(shù)a，n滿足a＞b，且a+b=1，函數(shù)y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率是2-$\frac{1}{a}$．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由條件可得a，b的方程，解方程可得a=e，b=1-e；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由x=e，求得導(dǎo)數(shù)，再由x＞e，結(jié)合對數(shù)的性質(zhì)可得減區(qū)間，由0＜x＜e可得增區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{alnx+b}{{e}^{x}}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{a-bx-axlnx}{x{e}^{x}}$（x＞0），
由f′（1）=2-$\frac{1}{a}$，得$\frac{a-b}{e}$=2-$\frac{1}{a}$，由a+b=1，可得$\frac{2a-1}{e}$=2-$\frac{1}{a}$，
即$\frac{2a-1}{e}$=$\frac{2a-1}{a}$，由a＞b，a$≠\frac{1}{2}$，則a=e，b=1-e；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=$\frac{e+（e-1）x-exlnx}{x{e}^{x}}$（x＞0），
即f′（x）=$\frac{e-x+ex（1-lnx）}{x{e}^{x}}$（x＞0），
由x=e時，f′（e）=0，且x＞e，e-x＞0，ex（1-lnx）＜0，
故f′（x）＜0，同理0＜x＜e，f′（x）＞0，
于是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，e），減區(qū)間為（e，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運用函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．