Question

20．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2S_n+3=3a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=（n+1）log${\;}_{\sqrt{3}}$a_n，記T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，求證：2T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）通過令n=1可得首項a₁=3，當n≥2時，利用2S_n+3=3a_n與2S_n-1+3=3a_n-1的差可得公比，進而可得結論；
（II）通過b_n=2n（n+1），分離分母可得$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結論．

解答 （I）解：當n=1時，2S₁+3=2a₁+3=3a₁，得a₁=3，
當n≥2時，2S_n+3=3a_n           …①
2S_n-1+3=3a_n-1         …②
①-②，得：2a_n=3a_n-3a_n-1，即a_n=3a_n-1，
∴數列{a_n}為公比為3，首項為3的等比數列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ（n∈N^*）；
（II）證明：∵b_n=（n+1）log${\;}_{\sqrt{3}}$3ⁿ=2n（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
＜$\frac{1}{2}$，
∴2T_n＜1．

點評 本題考查求數列的通項和前n項和的取值范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．