Question

1．已知離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在此雙曲線上，且$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則點(diǎn)P到x軸的距離等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，得到一個方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x，y），
離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1，可得a=2，F(xiàn)₁（-$\sqrt{5}$，0）、F₂（$\sqrt{5}$，0），
∵$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂
∴$\frac{y-0}{x+\sqrt{5}}•\frac{y-0}{x-\sqrt{5}}=-1$，
∴x²+y²=5，
代入雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
∴$\frac{5-{y}^{2}}{4}$-y²=1，
∴|y|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴P到x軸的距離是$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線方程的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．