Question

20．已知lga+lgb=lg2，$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{^{2}+2}$的最大值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得正數(shù)ab滿足b=$\frac{2}{a}$，代入原變形可得$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{^{2}+2}$=$\frac{2}{a+\frac{2}{a}}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵lga+lgb=lg2，∴l(xiāng)gab=lg2，
∴正數(shù)ab滿足ab=2，∴b=$\frac{2}{a}$，
∴$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{^{2}+2}$=$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{\frac{2}{a}}{\frac{4}{{a}^{2}}+2}$
=$\frac{a}{{a}^{2}+2}$+$\frac{2a}{4+2{a}^{2}}$=$\frac{2a}{{a}^{2}+2}$=$\frac{2}{a+\frac{2}{a}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{a•\frac{2}{a}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{2}{a}$即a=$\sqrt{2}$時取等號．
故選：D

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．