Question

10．f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），若f（x）-f′（x）＜1，f（0）=2016，則不等式f（x）＞2015•e^x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^-xf（x）-e^-x，利用導數(shù)性質(zhì)得y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，從而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•e^x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集．

解答 解：設(shè)g（x）=e^-xf（x）-e^-x，
則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）+e^-x=-e^-x[f（x）-f′（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＜1，∴f（x）-f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵f（x）＞2015•e^x+1，∴g（x）＞2015，
∵g（0）=e^-0f（0）-e^-0=f（0）-1=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞2015•e^x+1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．