Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+$\frac{cos2x}{2}$+3sin²x$+\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（I）依題意，$f（x）=2sinxcosx+\frac{cos2x}{2}+3{sin^2}x+\frac{1}{2}=sin2x-cos2x+2$=$\sqrt{2}sin（{2x-\frac{π}{4}}）+2$，
∴函數(shù)的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$．
（II）令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ（{k∈Z}）$，求得$\frac{3π}{8}+kπ≤x≤\frac{7π}{8}+kπ（{k∈Z}）$，
可得f（x）的單調(diào)減區(qū)間為$[{\frac{3π}{8}+kπ，\frac{7π}{8}+kπ}]（{k∈Z}）$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．