Question

10．如圖，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O（0，0），D（0，2），線段OD的中點為橢圓C的一個頂點，郭點D且斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點．
（1）設線段AB的中點為G，求直線OG的斜率與k的乘積；
（2）若OA⊥OB，且A、B在x軸上的射影分別為A′、B′，求|AA′|•|BB′|．

Answer 1

分析 （1）利用已知得到橢圓C的標準方程；設直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0．利用韋達定理可得G的坐標，k_OG=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2k}$，
即可求得直線OG的斜率與k的乘積．
（2）由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，可得k²=5，
即|AA′|•|BB′|=|y₁|•|y₂|=|=|x₁x₂|=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}=\frac{6}{11}$．

解答 解：（1）依題意可得b=1，又∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²+b²=c²，可得c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
設直線l的方程為：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+8kx+6=0．
x₁+x₂=$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}$；   y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$
k_OG=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{1}{2k}$，∴直線OG的斜率與k的乘積為-$\frac{1}{2k}$×k=-$\frac{1}{2}$．
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
$\frac{6（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$+2k•$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$+4=0，可得k²=5，
∵A、B在x軸上的射影分別為A′、B′，
∴|AA′|•|BB′|=|y₁|•|y₂|=|=|x₁x₂|=$\frac{6}{1+2{k}^{2}}=\frac{6}{11}$．

點評 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．