Question

8．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象上一個最低點為M（$\frac{2}{3}$π，-1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=$\frac{2}{3}$在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與性質(zhì)求出T與ω，再求得A與φ的值，即可寫出f（x）；
（2）根據(jù)x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]求出sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大、最小值，寫出f（x）的值域；
（3）根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{3}$]函數(shù)f（x）的取值范圍，得出方程f（x）=$\frac{2}{3}$有兩個不相等的實數(shù)根時
x₁與x₂的關(guān)系，利用對稱性計算cos（x₁-x₂）的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
由最低點為M（$\frac{2π}{3}$，-1），可得A=1；
由點M（$\frac{2π}{3}$，-1）在圖象上，可得sin（2•$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
∴$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{6}$，
函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值1，
2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時，sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）在x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]時的值域為[-$\frac{1}{2}$，1]；
（3）x∈[0，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]，即f（x）∈[$\frac{1}{2}$，1]；
又方程f（x）=$\frac{2}{3}$在x∈[0，$\frac{π}{3}$]上有兩個不相等的實數(shù)根x₁，x₂，
∴（2x₁+$\frac{π}{6}$）+（2x₂+$\frac{π}{6}$）=2×$\frac{π}{2}$=π，
∴x₁=$\frac{π}{3}$-x₂；
∴cos（x₁-x₂）=cos（$\frac{π}{3}$-2x₂）
=cos[$\frac{π}{2}$-（2x₂+$\frac{π}{6}$）]
=sin（2x₂+$\frac{π}{6}$）=f（x₂）=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)的值域和對稱應(yīng)用問題，是綜合題．