Question

10．若橢圓上存在三點(diǎn)，使得這三點(diǎn)與橢圓中心恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由正方形和橢圓的對稱性可得，設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC為正方形，可得A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），C（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），代入橢圓方程，可得a²=3b²，由a，b，c的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，可得所求值．

解答 解：由正方形和橢圓的對稱性可得，
設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由B（a，0），OABC為正方形，可得
A（$\frac{a}{2}$，$\frac{a}{2}$），C（$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），
將A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得
$\frac{{a}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{4^{2}}$=1，
即有a²=3b²，
c²=a²-b²=$\frac{2}{3}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)：對稱性，考查點(diǎn)滿足橢圓方程，以及計(jì)算能力，屬于中檔題．