Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)E：y²=4x的焦點(diǎn)F重合，點(diǎn)P是橢圓C和拋物線(xiàn)E的一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，1）滿(mǎn)足QF⊥QP，則C的離心率為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意求出橢圓與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義求出橢圓的實(shí)半軸，代入離心率公式求得答案．

解答 解：如圖，

由拋物線(xiàn)E：y²=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），
又Q（0，1）且QF⊥QP，
∴QP所在直線(xiàn)斜率為1，則QP所在直線(xiàn)方程為y=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得P（1，2），
則2a=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-2）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}+2$，
∴a=$\sqrt{2}+1$，
則e=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了拋物線(xiàn)方程的應(yīng)用，考查橢圓的定義，是中檔題．