Question

20．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點與拋物線E：y²=4x的焦點F重合，點P是橢圓C和拋物線E的一個公共點，點Q（0，1）滿足QF⊥QP，則C的離心率為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點坐標，再由題意求出橢圓與拋物線的交點，結(jié)合橢圓定義求出橢圓的實半軸，代入離心率公式求得答案．

解答 解：如圖，

由拋物線E：y²=4x，得2P=4，p=2，∴F（1，0），
又Q（0，1）且QF⊥QP，
∴QP所在直線斜率為1，則QP所在直線方程為y=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，解得P（1，2），
則2a=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-2）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=$2\sqrt{2}+2$，
∴a=$\sqrt{2}+1$，
則e=$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$．
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了拋物線方程的應用，考查橢圓的定義，是中檔題．