Question

14．（1）求函數(shù)y=$\frac{2}{x}$+3x的值域．
（2）已知x，y為正實數(shù)，且$\frac{x}{2}$+y=1，求$\frac{x+8y}{xy}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）對x分類討論，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)x＞0時，$y≥2\sqrt{\frac{2}{x}•3x}$=2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時取等號．
當(dāng)x＜0時，同理可得y≤$-2\sqrt{6}$．
∴函數(shù)y=$\frac{2}{x}$+3x的值域為$（-∞，-2\sqrt{6}]$∪$[2\sqrt{6}，+∞）$．
（2）∵x，y為正實數(shù)，且$\frac{x}{2}$+y=1，
∴$\frac{x+8y}{xy}$=$（\frac{x}{2}+y）$$（\frac{1}{y}+\frac{8}{x}）$=5+$\frac{x}{2y}+\frac{8y}{x}$≥5+2$\sqrt{\frac{x}{2y}•\frac{8y}{x}}$=9，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=$\frac{4}{3}$時取等號．
∴$\frac{x+8y}{xy}$的最小值為9．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．