Question

10．設f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數，若對任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤10成立，則稱f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函數”，[a，b]稱為“密切區(qū)間”，若f（x）=x³-2x+7，g（x）=x+m在[2，3]上是“密切函數”，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [15，+∞）
• B． （-∞，19]
• C． （15，19）
• D． [15，19]

Answer 1

分析 根據“密切函數”的定義列出絕對值不等式|x³-2x+7-（x+m）|≤10，可得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在x∈[2，3]上成立，令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，從而轉化為F（x）_max≤m≤g（x）_min，可求實數m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）與g（x）在[a，b]上是“密切函數”，
則|f（x）-g（x）|≤10，即|x³-2x+7-（x+m）|≤10在[2，3]上成立，
化簡得x³-3x-3≤m≤x³-3x+17在[2，3]上成立，
令F（x）=x³-3x-3，x∈[2，3]，
由F′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得F（x）在[2，3]上為增函數，
則F（x）_max=F（3）=15；
令G（x）=x³-3x+17，x∈[2，3]，
由G′（x）=3x²-3＞0在x∈[2，3]成立，可得G（x）在[2，3]上為增函數，
則G（x）_min=G（2）=19．
∴15≤m≤19．
故選：D．

點評 本題考查恒成立問題，要求學生會根據題中新定義的概念列出不等式，然后求解解絕對值不等式，由不等式進行轉化為求解函數在閉區(qū)間上的最值，是中檔題．