Question

20．若P（x，y）點(diǎn)滿足$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）則$\frac{y-3}{x-4}$的范圍是$[\frac{3-\sqrt{3}}{3}，\frac{3}{2}]$．

Answer 1

分析 由$\frac{y-3}{x-4}$的幾何意義為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)M（4，3）連線的斜率，借助于兩點(diǎn)求斜率可得$\frac{y-3}{x-4}$的最大值，再設(shè)出過(guò)點(diǎn)M（4，3）的直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式等于0求得$\frac{y-3}{x-4}$的最小值．

解答 解：如圖，$\frac{y-3}{x-4}$的幾何意義為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)M（4，3）連線的斜率，
∵${k}_{MA}=\frac{3-0}{4-2}=\frac{3}{2}$，∴$\frac{y-3}{x-4}$的最大值為$\frac{3}{2}$；
設(shè)過(guò)M（4，3）的直線方程為y-3=k（x-4），即y=kx-4k+3，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-4k+3}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-（32k²-24k）x+64k²-96k+32=0．
由△=（32k²-24k）²-（4+16k²）（64k²-96k+32）=0，
整理得：3k²-6k+2=0，解得k=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$或k=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$（舍），
∴$\frac{y-3}{x-4}$的最小值為$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$[\frac{3-\sqrt{3}}{3}，\frac{3}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，該題也可利用三角代換求解，是中檔題．