Question

6．定義：對于一個函數(shù)f（x）（x∈D），若存在兩條距離為d的直線y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得x∈D時，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂恒成立，則稱函數(shù)f（x）在D內(nèi)有一個寬度為d的通道，則下列函數(shù)：①f（x）=x²；②f（x）=$\frac{sinx}{x}$；③f（x）=2^x；④f（x）=$\sqrt{x{\;}^{2}-1}$在區(qū)間[4，+∞）內(nèi)有一個寬度為1的通道的函數(shù)有（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 通過當(dāng)x∈[4，+∞）時，f（x）∈[16，+∞），即可判斷①的正誤．
f（x）=$\frac{sinx}{x}$，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，判斷函數(shù)f（x）在[4，+∞）內(nèi)有一個寬度為1的通道，判斷②的正誤．
對于③，當(dāng)x∈[4，+∞）時，確定函數(shù)的值域，2^x≥16，即可判斷③的正誤；
對于④，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，可取另一直線，滿足在[4，+∞）有一個寬度為1的通道；

解答 解：對于①，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）∈[1，+∞），故在[1，+∞）不存在一個寬度為1的通道；∴①不正確．
對于②，f（x）=$\frac{sinx}{x}$，隨著x的增大，函數(shù)值趨近于0，對于任意給定的正數(shù)x，都存在一個實數(shù)4，使得函數(shù)f（x）在[4，+∞）內(nèi)有一個寬度為1的通道，故f（x）在正無窮處有永恒通道；∴②正確．
對于③，當(dāng)x∈[4，+∞）時，2^x≥16，故在[4，+∞）沒有一個寬度為1的通道，∴③不正確．
對于④，當(dāng)x∈[4，+∞）時，f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，表示雙曲線x²-y²=1在第一象限的部分，雙曲線的漸近線為y=x，故可取另一直線為y=x-1，滿足在[4，+∞）有一個寬度為1的通道；∴④正確．
故選：C．

點評 本題考查的重點是對新定義的理解，解題的關(guān)鍵是通過研究函數(shù)的性質(zhì)，找出滿足題意的直線．