Question

1．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足$f（x）=\frac{f'（1）}{2}•{e^{2x-2}}+{x^2}-2f（0）x$，$g（x）=f（\frac{x}{2}）-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）如果s、t、r滿足|s-r|≤|t-r|，那么稱s比t更靠近r．當a≥2且x≥1時，試比較$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪個更靠近lnx，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，利用賦值法，求出f′（1）=f′（1）+2-2f（0），得到f（0）=1．然后求解f′（1），即可求出函數(shù)的解析式．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)g′（x）=e^x+a，結合a≥0，a＜0，分求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（3）構造$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={g^，}（x-1）-lnx$，通過函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結合當1≤x≤e時，當1≤x≤e時，推出|p（x）|＜|q（x）|，說明$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．當x＞e時，通過作差，構造新函數(shù)，利用二次求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，證明$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．

解答 解：（1）f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1．又$f（0）=\frac{f'（1）}{2}•{e^{-2}}$，
所以f′（1）=2e²，所以f（x）=e^2x+x²-2x．（4分）
（2）∵f（x）=e^2x-2x+x²，
∴$g（x）=f（\frac{x}{2}）-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}+\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{1}{4}{x^2}+（1-a）x+a={e^x}-a（x-1）$，
∴g′（x）=e^x-a．（5分）
①當a≤0時，g′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；（6分）
②當a＞0時，由g′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；x∈（lna，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
綜上，當a≤0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（∞，∞）；
當a＞0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）．（8分）
（3）解：設$p（x）=\frac{e}{x}-lnx，q（x）={e^{x-1}}+a-lnx$，∵$p'（x）=-\frac{e}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，∴p（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，又p（e）=0，∴當1≤x≤e時，p（x）≥0，當x＞e時，p（x）＜0．∵$q'（x）={e^{x-1}}-\frac{1}{x}$，$q''（x）={e^{x-1}}+\frac{1}{x^2}＞0$，∴q′（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，又q′（1）=0，∴x∈[1，+∞）時，q'（x）≥0，∴q（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，∴q（x）≥q（1）=a+1＞0．
①當1≤x≤e時，$|p（x）|-|q（x）|=p（x）-q（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，
設$m（x）=\frac{e}{x}-{e^{x-1}}-a$，則$m'（x）=-\frac{e}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，∴m（x）在x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵a≥2，∴m（x）＜0，∴|p（x）|＜|q（x）|，∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
②當x＞e時，$|p（x）|-|q（x）|=-p（x）-q（x）=-\frac{e}{x}+2lnx-{e^{x-1}}-a＜2lnx-{e^{x-1}}-a$，
設n（x）=2lnx-e^x-1-a，則$n'（x）=\frac{2}{x}-{e^{x-1}}$，$n''（x）=-\frac{2}{x^2}-{e^{x-1}}＜0$，∴n′（x）在x＞e時為減函數(shù)，
∴$n'（x）＜n'（e）=\frac{2}{e}-{e^{e-1}}＜0$，∴n（x）在x＞e時為減函數(shù)，∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．
綜上：在a≥2，x≥1時，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更靠近lnx．（12分）

點評 本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性等情況．本小題主要考查考生分類討論思想的應用，對考生的邏輯推理能力與運算求解有較高要求．