Question

16．設函數(shù)f（x）=|x|+|2x-a|．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥a²對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數(shù)，即可解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）由f（x）≥a²對任意x∈R恒成立等價于|k|+|2k-1|≥|a|對任意k∈R恒成立，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-3x，x≤0\\ 1-x，0＜x≤\frac{1}{2}\\ 3x-1，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$…（3分）
根據(jù)圖易得f（x）≤1的解集為$\{x|0≤x≤\frac{2}{3}\}$…（5分）
（Ⅱ）令x=ka（k∈R），
由f（x）≥a²對任意x∈R恒成立等價于|k|+|2k-1|≥|a|對任意k∈R恒成立…（6分）
由（1）知|k|+|2k-1|的最小值為$\frac{1}{2}$，所以$|a|≤\frac{1}{2}$…（8分）
故實數(shù)a的取值范圍為$-\frac{1}{2}≤a≤\frac{1}{2}$…（10分）

點評 本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，關鍵是去掉絕對值，化為與之等價的不等式組來解，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．