Question

16．已知復(fù)數(shù)z₁，z₂滿(mǎn)足|z₁|≤1，-1≤Rez₂≤1，-1≤Imz₂≤1，若z=z₁+z₂，則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為12+π．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出z₁、z₂，結(jié)合z=z₁+z₂得到z的軌跡（x-a）²+（y-b）²=1，由圓心變化得到z所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形，則面積可求．

解答 解：∵復(fù)數(shù)z₁，z₂滿(mǎn)足|z₁|≤1，-1≤Rez₂≤1，-1≤Imz₂≤1，
則可設(shè)z₁=cosθ+isinθ，z₂=a+bi（-1≤a≤1，-1≤b≤1），
由z=z₁+z₂，得z=（a+cosθ）+（b+sinθ）i，
設(shè)z=x+yi，則$\left\{\begin{array}{l}{x=a+cosθ}\\{y=b+sinθ}\end{array}\right.$，
∴（x-a）²+（y-b）²=1．
當(dāng)a，b變化時(shí)，z點(diǎn)的軌跡如圖：

則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)組成的圖形的面積為：
圖中內(nèi)部邊長(zhǎng)為2的正方形面積+四個(gè)長(zhǎng)為2寬為1的長(zhǎng)方形面積+四個(gè)四分之一圓的面積．
等于${2}^{2}+4×2×1+4×\frac{1}{4}π=12+π$．
故答案為：12+π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，屬中檔題．