Question

6．已知數(shù)列﹛a_n﹜滿足a_n+1=$\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-a_n^2}$，且a₁=$\frac{1}{2}$，則該數(shù)列前2013項和等于（　　）

• A． 1509.5
• B． 1508.5
• C． 1509
• D． 1508

Answer 1

分析 通過計算出前幾項的值可知該數(shù)列奇數(shù)項為$\frac{1}{2}$、偶數(shù)項為1，進而計算可得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}+\sqrt{{a_n}-a_n^2}$，且a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{a}_{1}-{{a}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
a₃=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{{a}_{2}-{{a}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{1-{1}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以2為周期的周期數(shù)列，
且奇數(shù)項為$\frac{1}{2}$、偶數(shù)項為1，
∴該數(shù)列前2013項和等于：1007•$\frac{1}{2}$+1006•1=1509.5，
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，找出周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．