Question

14．如皋市某電子廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，正品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：$\begin{array}{l}P=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{1}{96-x}（1≤x≤c，x∈N，1≤c＜96）\\ \frac{1}{3}（x＞c，x∈N）\end{array}\right.\end{array}$
（注：正品率$P=\frac{合格品數(shù)}{生產(chǎn)量}$，如P=0.9表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有9件為合格品，其余為次品．）已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損$\frac{A}{2}$元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量，
（1）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；
（2）當(dāng)日產(chǎn)量x為多少時(shí)，可獲得最大利潤？

Answer 1

分析 （1）通過每天的贏利T=日產(chǎn)量（x）×正品率（P）×盈利（A）-日產(chǎn)量（x）×次品率（1-P）×虧損（$\frac{A}{2}$），列出表達(dá)式、整理即可；
（2）通過（1）可知只需考查f（x）=A（x-$\frac{3x}{192-2x}$）的單調(diào)性即可，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，T=x•P•A-x•（1-P）•$\frac{A}{2}$
=$\frac{3}{2}$xPA-$\frac{1}{2}$xA
=$\left\{\begin{array}{l}{xA（1-\frac{3}{192-2x}），}&{1≤x≤c，1≤c＜96}\\{0，}&{x＞c}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，只需考查1≤x≤c時(shí)的情況即可．
記f（x）=A（x-$\frac{3x}{192-2x}$），則f′（x）=A•$\frac{4（{x}^{2}-192x+48•189）}{（192-2x）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得：x=84，
且當(dāng)x＜84時(shí)f′（x）＞0、當(dāng)x＞84時(shí)f′（x）＜0，
∴當(dāng)c≤84時(shí)，日產(chǎn)量為c時(shí)利潤最大；
當(dāng)84＜c＜96時(shí)，日產(chǎn)量為84時(shí)利潤最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，并且利用導(dǎo)數(shù)方法求得函數(shù)的最值問題，也考查了分段函數(shù)的問題，注意解題方法的積累，屬于中檔題．