Question

如圖，平面四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，為球的直徑，為球面上一點(diǎn)，且平面 ，，點(diǎn)為的中點(diǎn).
(1) 證明：平面平面；
(2) 求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；（2）

試題分析：本小題通過(guò)立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到直線與直線垂直的判斷、線面的平行關(guān)系的判斷以及二面角的求法等有關(guān)知識(shí)，考查考生的空間想象能力、推理論證能力，對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的考查也有涉及，本題是一道立體幾何部分的綜合題，屬于中檔難度試題. （1）借助幾何體的性質(zhì)，得到，借助線面平行的判定定理得到線面平行，進(jìn)而利用面面平行的判定定理證明平面平面；（2）利用空間向量的思路，建立坐標(biāo)系，明確各點(diǎn)坐標(biāo)，求解兩個(gè)半平面的法向量，進(jìn)而利用向量的夾角公式求解二面角的平面角.
試題解析：(1) 證明：且，
則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
              (6分)
(2) 以為原點(diǎn)，方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020640671266.png" style="vertical-align:middle;" />軸，以平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020640749310.png" style="vertical-align:middle;" />軸以方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020640780231.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立如圖所示坐標(biāo)系.

則，，，
，，
由，，
可知
由，，
可知
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為.                    (12分)