Question

14．已知函數y=f（x）是定義域為D，且f（x）同時滿足以下條件：
①f（x）在D上是單調函數；
②存在閉區(qū)間[a，b]?D（其中a＜b），使得當x∈[a，b]時，f（x）的取值集合也是[a，b]．則稱函數y=f（x）（x∈D）是“合一函數”．
（1）請你寫出一個“合一函數”；
（2）若f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是“合一函數”，求實數m的取值范圍．
（注：本題求解中涉及的函數單調性不用證明，直接指出是增函數還是減函數即可）

Answer 1

分析 （1）根據新定義，寫出一個“合一函數”即可（答案不唯一）；
（2）根據f（x）的單調性以及f（x）是“合一函數”，得出$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，利用方程與函數的關系，求出實數m的取值范圍．

解答 解：（1）根據題意，寫出一個“合一函數”，如y=x，x∈[0，1]；
（或y=-x，x∈[-1，1]或y=x³，x∈[-1，1]或y=-x³或x∈[-1，1]，答案不唯一）；
（2）f（x）=$\sqrt{x+1}$+m是在[-1，+∞）的增函數，
由題意知，f（x）是“合一函數”時，存在區(qū)間[a，b]，
滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a+1}+m=a}\\{\sqrt{b+1}+m=b}\end{array}\right.$；
即a、b是方程$\sqrt{x+1}$+m=x的兩個根，
化簡得a，b是方程x²-（2m+1）x+m²-1=0的兩個根，
且$\left\{\begin{array}{l}{a≥m}\\{b＞m}\end{array}\right.$；
令g（x）=x²-（2m+1）x+m²-1，
得$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（m）≥0}\\{\frac{2m+1}{2}＞m}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{4}$＜m≤-1，
所以實數m的取值范圍是（-$\frac{5}{4}$，-1]．

點評 本題考查了新定義的函數與方程的應用問題，也考查了構造函數的解題方法，轉化為方程的根與函數圖象與x軸交點的問題，是綜合性題目．